文／郭詠澧

同學問，地球如此大，我們要如何知道地球的重量呢？要如何稱重地球呢？

在嚴格的物理學中，「重量」是指物體受到的重力，而天體在太空中沒有支撐面，因此科學上通常使用「質量」來表示地球的大小與輕重。

而人們是無法把地球放到磅秤上的，英國科學家亨利·卡文迪許（Henry Cavendish）想到，若透過牛頓的萬有引力定律，是可計算出地球的平均密度。因為根據牛頓萬有引力的定律，如果能測出兩個已知質量物體之間的微弱引力，就能解出萬有引力常數。一旦知道萬有引力常數，代入地球表面物體的重量公式裡，利用地面物體的重力加速度與半徑，就能算出地球的質量了。

扭秤實驗 間接測量

卡文迪許於1797至1798年間在倫敦實驗室裡進行實驗，用一套看似簡單的裝置測出了地球的密度，被譽為物理學史上最優雅的實驗之一。他是透過「扭秤實驗」測量出引力常數後，「稱出」地球的密度，也就是說，先測量出萬有引力，間接「稱」出地球的質量。

卡文迪許使用一種極其精巧的儀器稱作扭秤（torsion balance），扭秤是用一根39英寸細長的石英絲，垂直懸掛著一根6英尺長的輕質橫木桿，在橫桿兩端各固定一個2英寸直徑的小鉛球，然後在橫桿外側再放置兩個大鉛球，各約12英寸直徑，每個重350磅，可繞軸來旋轉。然後在石英絲上固定一面小平鏡，用一束光線照射鏡子，反射光斑落在一根遠處的刻度尺上，用反射光斑的位移來讀取扭絲的微小轉角。這微小的機械扭轉被放大成肉眼可讀的光斑移動。為了減少空氣流動對微弱引力的干擾，卡文迪許把整個裝置放進一個封閉房間，並用滑輪系統在室外遠程移動大鉛球位置。

技術觀察 測量估算

實驗的過程如下：

大球靠近小球：先在大鉛球遠離小鉛球的位置時，記錄光斑在刻度尺上初始位置。此時T形架處於自然下垂平衡態。再緩慢移動支架，將兩個大鉛球移向小鉛球，使大球對小球產生微弱的萬有引力，T形架開始扭轉。

觀察扭轉：這股引力雖極小（約僅幾百萬分之一牛頓），但足以使懸絲發生可測量的扭轉，帶動橫桿微微轉動。

測量扭轉角度：卡文迪許在密閉房間外，透過望遠鏡觀察固定在懸絲上的小鏡子反射的光點位移，將極微小的扭轉角度放大為可讀的尺度。T形架扭轉時會扭緊石英絲，石英絲產生反向的恢復力矩。當引力矩=恢復力矩時，系統停止在新的平衡位置，記錄下來光斑的新位置。

消除干擾：整個裝置設於密閉房中，以隔絕氣流與溫度變化。

卡文迪許由以上的實驗，測得地球的平均密度約為水的5.481倍，根據地表重力加速度公式推算出地球質量約為6x1024kg。現代科學家已測得結果的精確值，地球質量約為5.972×1024公斤，大約是6×1021噸（60萬億億噸）。

卡文迪許的扭秤實驗結果與現代值相差不到1%，但他使用的是18世紀的工藝、沒有真空設備、靠望遠鏡在室外讀數，這樣的精度在物理學史上堪稱奇蹟；這實驗驚人之處，在於他的測量是從實驗室裡幾個鉛球之間的微弱引力，由此推導出整顆地球的質量——這是扭秤實驗被後人稱為「稱重地球」的實驗。

卡文迪許扭秤實驗開創了「弱力測量」的新時代——用光的槓桿放大+力矩平衡+轉換法的思想，為後來測量電場力、磁場力、甚至引力波提供了範本。卡文迪許那面小鏡子反射出的光斑，依然是今天所有精密引力測量實驗的精神起點。他「稱」出的不只是地球的重量，更是人類用實驗手段叩問自然常數的開端。